Symmetrie en Symmetriebreking

Symmetrie

Voor de meesten is symmetrie iets wat meteen opvalt. Onze hersenen zijn namelijk goed in het herkennen van patronen, en we kunnen snel zien wanneer iets symmetrisch is of niet. Bron afbeelding Zoda Przygoda Mahanna.

Symmetrie gaat over invarianten, over wat onveranderd blijft na verschuiving, draaiing of spiegeling van een figuur of object. Je verschuift, draait of spiegelt een object en je ziet geen verschil. Het is een transformatie, die het object op zichzelf invariant laat en daarbij isometrisch de afstanden behoudt. Om symmetrie van figuren te bestuderen, is kennis over meetkundige-transformaties nodig.

  • Invariantie onder een bepaalde verschuiving: translatiesymmetrie, wanneer het in een bepaalde richting verschoven wordt
  • Invariantie onder een bepaalde draaiing: draaisymmetrie,  als een object na draaiing over een bepaalde hoek identiek blijft.
  • Invariantie onder een bepaalde spiegeling: spiegelsymmetrie, een figuur die van zijn gespiegeld beeld niet te onderscheiden is. Het is de meest gebruikelijke soort symmetrie.
  • Invariantie onder een combinatie van translatie- en spiegelsymmetrie: glijspiegeling. De oriëntatie wordt dus verwisseld. Oriëntatie wordt ook wel (rechts- of links)handigheid of chiraliteit genoemd van een geordende basis: een soort van asymmetrie, die het onmogelijk maakt om een spiegeling te repliceren door een enkelvoudige rotatie. Alle basissen zijn asymmetrisch en hebben twee mogelijke oriëntaties, net zoals de rechter- en linkerhand van het menselijk lichaam. In het driedimensionale platte vlak worden de twee mogelijke basisoriëntaties rechtshandig en linkshandig genoemd.
Links wordt de linkshandige- en rechts de rechtshandige oriëntatie in het platte vlak (de Euclidische ruimte) weergegeven.

Wiskundige benadering symmetrie

In de wiskunde kent symmetrie een meer abstractere benadering: om te verwijzen naar een object dat onder bepaalde transformaties onveranderd blijft. Een transformatie is een partiëlefunctie f die een set X aan zichzelf toewijst, d.w.z. f : X → X. Partiële functie

Let op: bepaalde terminologie heeft een wiskundige betekenis. Wikipedia is hierin een doolhof, dus ik omschrijf zo veel mogelijk termen.

  • Een functie geeft de afhankelijkheid aan van één element met betrekking tot een ander element oftewel een afhankelijk verband tussen bepaalde elementen. Een functie f  is een relatie tussen twee verzamelingen X en Y met de eigenschap dat aan ieder element x  uit X precies één element  y uit Y is gekoppeld. Meestal wordt het begrip gebruikt in de context waarin deze elementen getallen zijn d.w.z. aanduidingen voor ’n bepaalde hoeveelheid. 
  • Een element is een onderdeel van een verzameling. Alle elementen samen vormen de verzameling.
  • Een set een goed gedefinieerde verzameling van verschillende objecten, beschouwd als een (wiskundig) object op zichzelf.
  • Afbeelding: in de wiskunde is het begrip afbeelding de verzamelingtheoretische interpretatie van het begrip functie (de afhankelijkheid aan van één element met betrekking tot een ander element)
  • Verzameling: is een collectie van verschillende elementen

Een object of een figuur dat niet door een bepaalde verschuiving of spiegeling op zichzelf kan worden afgebeeld, wordt dat mogelijk wél door de combinatie ervan, zoals bij isometrie in de euclidische ruimte (de vlakke ruimte die niet is gekromd).

Een isometrie of isometrische afbeelding is een functie (afhankelijke verband) die twee metrische ruimten (een verzameling) op elkaar afbeeldt en die daarbij de afstanden bewaart.

Een wiskundig object is een abstract object dat ontstaat in de wiskunde. Voorbeelden van wiskundige objecten zijn o.a. getallen, verzamelingen, functies en bepaalde verbanden (relaties). De meetkunde kent ook wiskundige objecten, zoals punten, lijnen, driehoeken, veelvlakken, cirkels, bollen en variëteiten.

In de gehele Arabische wereld, vanaf Marokko, langs geheel noordelijk Afrika, via Turkije tot in Iran en zelfs India, is ornamentale kunst overvloedig aanwezig: sierlijk gekalligrafeerde Arabische teksten, rijkelijk bewerkte plafonds en mozaïekvloeren en intrigerende veelkleurige wandversieringen in de vorm van regelmatige patronen. Deze ornamentale kunst is ook terug te vinden in Zuid-Spanje, Andalusië om precies te zijn, en de Mezquita, de kathedraal van Córdoba. In het jaar 711 waren namelijk de Moren, Noord-Afrikaanse berbers, het Iberische schiereiland binnen gevallen, vandaar de verspreiding van deze ornamentale kunst.

Het Alhambra, het rode Paleis in Andalusië.
granadas-alhambra-palace.
De Nederlandse kunstenaar M.C. Escher is bekend om zijn vlakke geometrische patronen en ruimtelijke onmogelijke bouwconstructies. Zijn grafisch werk maakte hem wereldbekend, maar de invloed van islamitische kunst op zijn werk is maar bij weinig personen bekend.

Eshers fascinatie voor vlakverdelingen in de islamitische kunst ontstond tijdens twee reizen naar Zuid-Spanje, in 1922 en 1936, waar hij het Alhambra van Granada en de Mezquita van Córdoba bezocht. De eindeloze herhalingen en regelmaat waarmee patronen gehele vlakken vullen, intrigeerden hem. Al snel maakte hij patronen met herkenbare dierenfiguren met de unieke veranderingen in de kunstwerken. Ook verdiepte hij zich in wiskundige benaderingen naar patroonvorming.

Hoe komt het dat deze abstracte kunstvorm zich juist in noordelijk Afrika, Egypte, Turkije en het oude Perzische rijk had ontwikkeld? De verspreiding van de islam over deze gebieden speelde hierbij een cruciale rol. Omdat deze religie afbeeldingen van mensen en dieren op religieuze gebouwen niet toestaat, werd gezocht naar andere vormen van decoratie. Maar er was ook nog iets anders waardoor het ontwerpen van geometrische patronen gestimuleerd werd.

In de culturele centra van de islamitische regio bloeide de wetenschap tijdens de middeleeuwen. Niet alleen de theologie en geneeskunde, maar ook astronomie, meetkunde en algebra ontwikkelden zich sterk. Er werden bijeenkomsten georganiseerd tussen wiskundigen en mozaïekontwerpers. Tijdens deze bijeenkomsten werden meetkundige problemen besproken. De ontwerpers gebruikten de informatie die ze kregen van de wiskundigen om nog mooiere patronen te ontwerpen.

Het ontstaan van de prachtige mozaïeken is dus te danken aan de samenwerking tussen ontwerpers en wiskundigen. Verder wijzen velen op het idee dat men juist met de abstracte, meetkundige ontwerpen wilde verwijzen naar de wijsheid en grootsheid van Allah. Zoals in het westen alle wijsheid toebedeeld werd aan God en in de oosterse religie aan Boeddha.

Wat bij die patronen vooral opvalt is de eindeloze variatie in de keuze van de motieven en kleuren. Maar ook de aard van de symmetrieën vertoont allerlei variaties. Je ziet vierkanten, zeshoeken, stervormige achthoeken, twaalfhoeken, zestienhoeken en allerlei andere motieven die kunstig ineen gevlochten zijn en zich tot aan de randen toe steeds weer blijven herhalen.

Sommige motieven zijn spiegelsymmetrisch, andere vertonen draaiingsymmetrie. Als je zulke patronen met wiskundige ogen bekijkt, zie je abstracte onderliggende structuren van symmetrietransformaties. Zoals bij alle abstracties, ontzie je de werkelijkheid: je dringt de specifieke vormen van de motieven in het patroon naar de achtergrond, en concentreert je op de rotaties en spiegelingen die het patroon als geheel in zichzelf overvoeren. Wanneer de motieven van een patroon zich in een of meer richtingen herhalen, zal de wiskundige het patroon in gedachten onbeperkt periodiek voortzetten, ook al is het in werkelijkheid begrensd. We denken ons in dat die begrenzing een soort ‘venster’ vormt waarachter het patroon zich onbeperkt voortzet. In dat geval heeft dat onbegrensde patroon ook translaties (verschuivingen) als symmetrieën.

Het is vrijwel zeker dat men destijds mozaïeken ontwierp door één of een paar zogenaamde cellen te tekenen met behulp van pen, passer en liniaal. Hierdoor ontstonden bepaalde patronen.

Een ‘cel’ is ’n deel van een mozaïek waarmee, samen met zijn spiegelbeeld, het gehele mozaïek opgebouwd kan worden. Als je van een cel en zijn spiegelbeeld stempels zou maken, dan zou je een compleet mozaïek kunnen stempelen! Meestal liggen de randen van een cel op symmetrieassen van het gehele mozaïek. Een cel is vaak vierkant of wat gebogen, maar kan ook een rechthoekige vorm hebben.

We zien hier een samenstelling van cirkels en sterpatronen binnen een rechthoekige begrenzing. Wanneer we dit samenspel in gedachten naar alle kanten onbeperkt voortzetten, zijn er tal van translaties (verschuivingen) die het patroon in zichzelf vermeerderen.

Ook onder een rotatie over 120° rond het middelpunt van zo’n samenstelling, gaat het patroon als geheel in zichzelf over. Er zijn verder rotaties over 180° en over 60° die het patroon in zichzelf vermeerderen. Zulke translaties en rotaties noemen we symmetrieën van het patroon. Ze brengen een groep voort, de symmetriegroep van het patroon. Alle transformaties die een zelfde figuur invariant (onveranderd) laten, horen samen. Ze vormen een groep. Als je ze omkeert of met elkaar samenstelt, blijf je altijd in die groep. Ook het begrip groep is één van de sleutelbegrippen van de wis- en natuurkunde.

Symmetriegroep

Definitie symmetriegroep:
De verzameling van alle symmetrieën van een bepaalde figuur wordt de symmetriegroep van die figuur genoemd.

De symmetriegroep van een object in één, twee of drie dimensies is de groep verzamelingen van al zijn mogelijke symmetrieën. In de wiskunde is een groep ’n bepaalde algebraïsche structuur (verzameling), waarop een of meer bewerkingen (operaties) gedefinieerd zijn die aan bepaalde wetmatigheden voldoen. Met andere woorden: een groep bestaat uit een verzameling (bijvoorbeeld G) en een operatie (groepsbewerking) die altijd op twee elementen van G werkt

Een verzameling G is een collectie van verschillende objecten, elementen (onderdelen ván die verzameling) genoemd, die zelf als een wiskundig object wordt beschouwd.

De doorsnede van de verzamelingen A en B wordt genoteerd als A B

Een operatie: In de simpelste vorm van zijn betekenis staat de term operatie of bewerking in de wiskunde en de logica voor een actie of procedure die uit een of meer invoerwaarden een nieuwe waarde produceert. Voorbeelden van operatie: machtsverheffen, plus-, min-, deel- en maalteken.

Symmetriebreking

Symmetriebreking kan worden onderscheiden in twee soorten, expliciete symmetrie breken en spontane symmetriebreking, gekenmerkt door het feit of de bewegingsvergelijkingen niet invariant zijn of de grondtoestand niet invariant is. Als een symmetrie expliciet gebroken wordt is het geen symmetrie meer van de theorie. Spontane symmetriebreking is wat subtieler en dit betekent niet, dat de theorie de symmetrie niet meer heeft, maar dat alleen bepaalde toestanden, zoals het vacuüm, de symmetrie breken.

Deze vorm van symmetriebreking komt veelvuldig voor in de natuur en vormt o.a. de verklaring voor het Higgs-deeltje! 

Een potlood op zijn punt laten balanceren.

Het principe van spontane symmetriebreking is gemakkelijk te begrijpen door een scherp potlood te nemen, en te proberen dit op zijn punt te balanceren. Als je een mooi rond potlood hebt, dat symmetrisch is omdat het er van alle kanten hetzelfde uitziet, zou het in principe mogelijk moeten zijn om het potlood rechtop op zijn punt te laten staan. Het zou daarbij in principe niet uit moeten maken hoe scherp het potlood is.

In de praktijk zal elk potlood dat je op een scherpe punt probeert te laten balanceren echter omvallen. De reden hiervoor, is dat wij als mensen niet zo goed zijn in het precies rechtop houden van een potlood. Naarmate we het potlood scherper en scherper maken, moeten we ook steeds preciezer het potlood rechtop zetten om te zorgen dat het niet omvalt. In de wiskundige limiet van een oneindig scherp potlood, is zelfs een oneindig kleine fout in het rechtop zetten voldoende om het potlood om te laten vallen. Een oneindig scherp potlood kun je dus onmogelijk op zijn punt laten balanceren, en het is alsof het potlood spontaan omvalt. De symmetrie wordt daarbij gebroken, omdat het potlood één bepaalde kant opvalt, waarna die richting er anders uitziet dan alle andere richtingen.

Dat objecten die bestaan uit veel quantumdeeltjes spontaan symmetrieën kunnen breken, geldt niet alleen voor stoelen en tafels die hierdoor een bepaalde plaats in de ruimte kunnen hebben. Het is ook de reden dat een magneet een noord- en een zuidpool kan hebben, en er daardoor niet hetzelfde uitziet in alle richtingen in de ruimte. En ook abstractere symmetrieën kunnen op deze manier gebroken worden. Bron: Kun je zitten op een stoel? The Quantum Universe

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s

Deze site gebruikt Akismet om spam te bestrijden. Ontdek hoe de data van je reactie verwerkt wordt.